1. 第二个式子:

2. 第一个式子:

2.1 对于鞅, $EX_n = EX_0$, 从而 $EX_{T \and n} = EX_0$.

2.2 对于上鞅, 设

从而 $\Bqty{\wt X_n, n \ge 0}$ 关于 $\Bqty{Y_n, n \ge 0}$ 是鞅, 于是

从而

从而得证.